Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn $2 x f^{'} (x) + f (x) = 2 x$ $\forall x \in (0; + \infty)$ , $f (1) = 1$ . Giá trị của biểu thức $f (4)$ là:

\frac{25}{6}

\frac{25}{3}

\frac{17}{6}

\frac{17}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Xét phương trình

2 x f^{'} (x) + f (x) = 2 x

(1)

trên

(0; + \infty)

(1) \Leftrightarrow f^{'} (x) + \frac{1}{2 x} \cdot f (x) = 1

(2)

.
Đặt

g (x) = \frac{1}{2 x}

, ta tìm một nguyên hàm

G (x)

của

g (x)

.
Ta có

\int g (x) d x = \int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \ln x + C = \ln \sqrt{x} + C

. Ta chọn

G (x) = \ln \sqrt{x}

.
Nhân cả 2 vế của

(2)

cho

e^{G (x)} = \sqrt{x}

, ta được:

\sqrt{x} \cdot f^{'} (x) + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot f (x) = \sqrt{x}

\Leftrightarrow {(\sqrt{x} . f (x))}^{'} = \sqrt{x}

(3)

.
Lấy tích phân 2 vế của

(3)

từ

1

đến 4, ta được:

\int_{1}^{4} {(\sqrt{x} . f (x))}^{'} d x = \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x

\Rightarrow {(\sqrt{x} . f (x))|}_{1}^{4} = {(\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}})|}_{1}^{4} \Rightarrow 2 f (4) - f (1) = \frac{14}{3} \Rightarrow f (4) = \frac{1}{2} (\frac{14}{3} + 1) = \frac{17}{6}

.
Vậy

f (4) = \frac{17}{6}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi