Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là $- 2; 0; 2; a; 6$ với $4 < a < 6$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{6} - 3 x^{2})$ là

11

8

9

7

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Lưu ý: Số điểm cực trị của hàm số đa thức liên tục trên

ℝ

là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ của phương trình

y^{'} = 0

Ta có:

y^{'} = (6 x^{5} - 6 x) . f^{'} (x^{6} - 3 x^{2})

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 6 x^{5} - 6 x = 0 (1) \\ f^{'} (x^{6} - 3 x^{2}) = 0 (2) \end{array}

(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}

(2) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{6} - 3 x^{2} = - 2 \\ x^{6} - 3 x^{2} = 0 \\ x^{6} - 3 x^{2} = 2 \\ x^{6} - 3 x^{2} = a \\ x^{6} - 3 x^{2} = 6 \end{array} (*)

Đặt

t = x^{2} (t \geq 0)

, khi đó ta thu

(2) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t^{3} - 3 t = - 2 (3) \\ t^{3} - 3 t = 0 (4) \\ t^{3} - 3 t = 2 (5) \\ t^{3} - 3 t = a (6) \\ t^{3} - 3 t = 6 (7) \end{array}

Nhận thấy, với mỗi

t > 0

là nghiệm của một trong các phương trình từ đến ta thu được hai nghiệm

x

tương ứng đối nhau, với

t = 0

ta được nghiệm kép

x = 0

.
Do đó ta chỉ quan tâm nghiệm

t > 0

,
Xét hàm số

g (t) = t^{3} - 3 t

có đồ thị như hình vẽ sau:

Từ đồ thị ta thấy:
Phương trình

(3)

có nghiệm kép

t_{1} = 1

, trường hợp này ta không có cực trị.
Phương trình

(4)

có một nghiệm

1 < t_{2} < 2

, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình

(5)

có một nghiệm

t_{3} = 2

, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình

(6)

với

4 < a < 6

ta được một nghiệm

t_{4} > t_{3} = 2

, ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình

(7)

với

a < 6

ta được 1 nghiệm

t_{5} > t_{4}

, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Vậy tổng cộng ta được

11

điểm cực trị.

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi