Cho hàm số $y = f (x)$ có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên $ℝ .$ Khi đó hàm số $y = f (4 x - 4 x^{2})$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời Giải:
Đáp án C
Theo đề bài thì

y = f (x)

có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và

y = f' (x)

liên tục trên

ℝ

\Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ u (x) = 0 \end{array};

với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ,
còn

u (x) = 0

chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập

[0; 1; 2]

Đặt

g (x) = f (4 x - 4 x^{2}),

ta có:

g' (x) = (4 - 8 x) f' (4 x - 4 x^{2}) .

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 - 8 x = 0 \\ f' (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array}

g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 - 8 x = 0 \\ 4 x - 4 x^{2} = 0 \\ 4 x - 4 x^{2} = 1 \\ 4 x - 4 x^{2} = 2 \\ u (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 1 = 0 \\ x (x - 1) = 0 \\ {(2 x - 1)}^{2} = 0 \\ u (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \\ u (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array}

+) Xét phương trình

u (4 x - 4 x^{2}) = 0.

Giả sử a là một nghiệm của phương trình

u (x) = 0

thì từ

a \notin \{0; 1; 2\}

ta thấy phương trình

4 x - 4 x^{2} = a

không có nghiệm nào thuộc tập

\{0; \frac{1}{2}; 1\} .

Suy ra các nghiệm

x = 0; x = 1

là nghiệm đơn còn

x = \frac{1}{2}

là nghiệm bội 3 của phương trình

f' (4 x - 4 x^{2}) = 0

+) Nếu phương trình

u (4 x - 4 x^{2}) = 0

có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương trình

f' (4 x - 4 x^{2}) = 0

Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình

g (x) = 0

là

\{0; \frac{1}{2}; 1\} .

Do đó, hàm số

g (x) = f (4 x - 4 x^{2})

có 3 điểm cực trị.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi