Cho hàm số $y = f (x)$ dương và liên tục trên $[1; 3]$ thỏa mãn $\max_{[1; 3]} f (x) = 2$ , $\min_{[1; 3]} f (x) = \frac{1}{3}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3} f (x) d x . \int_{1}^{3} \frac{1}{f (x)} d x$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $\int_{0}^{8} \frac{f (\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x + 1}} d x$ bằng

\frac{7}{3}

\frac{7}{6}

\frac{14}{3}

\frac{7}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

\frac{1}{3} \leq f (x) \leq 2 \Rightarrow (3 f (x) - 1) (f (x) - 2) \leq 0

\Rightarrow 3 f (x) + \frac{2}{f (x)} \leq 7 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \frac{1}{f (x)} \leq \frac{7 - 3 f (x)}{2}

.
Suy ra

S \leq \int_{1}^{3} f (x) d x . \int_{1}^{3} \frac{7 - 3 f (x)}{2} d x \leq \frac{2}{3} \int_{1}^{3} \frac{3}{2} f (x) d x . (7 - \int_{1}^{3} \frac{3 f (x)}{2} d x)

\leq \frac{2}{3} {(\frac{\int_{1}^{3} \frac{3}{2} f (x) d x + 7 - \int_{1}^{3} \frac{3 f (x)}{2} d x}{2})}^{2} = \frac{49}{6}

.
Ta tìm được

\max S = \frac{49}{6}

, xảy ra khi

\int_{1}^{3} \frac{3 f (x)}{2} d x = 7 - \int_{1}^{3} \frac{3 f (x)}{2} d x \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = \frac{7}{3}

.
Vậy

\int_{0}^{8} \frac{f (\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x + 1}} d x = 2 \int_{0}^{8} f (\sqrt{x + 1}) d (\sqrt{x + 1}) = 2 \int_{1}^{3} f (t) d t = \frac{14}{3}

.
Ghi chú: đây là lời giải dựa theo hướng dẫn giải của trường PTTH Quảng Xương. Tuy nhiên chỗ dấu bằng xảy ra chưa chỉ ra được hàm số nào thỏa.

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi