Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f (x); y = f' (x)$ có diện tích bằng

\frac{127}{40}

\frac{127}{10}

\frac{107}{5} .

\frac{13}{5} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Hàm số đã cho có dạng

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e \Rightarrow f' (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d

.
Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm

(- 2; 0)

(- 1; 1)

(0; 1)

(1; 0)

và có hai điểm cực tiểu là

(1; 0)

(- 2; 0)

nên ta có hệ

\{\begin{matrix} f (0) & = & 1 \\ f (- 2) & = & 0 \\ f (1) & = & 0 \\ f' (- 2) & = & 0 \\ f' (1) & = & 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} e & = & 1 \\ a + b + c + d & = & - 1 \\ 16 a - 8 b + 4 c - 2 d & = & - 1 \\ - 32 a + 12 b - 4 c + d & = & 0 \\ 4 a + 3 b + 2 c + d & = & 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} e & = & 1 \\ a & = & \frac{1}{4} \\ b & = & \frac{1}{2} \\ c & = & \frac{- 3}{4} \\ d & = & - 1 \end{matrix} .

Do đó

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} - x + 1 \Rightarrow f' (x) = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

f (x) = f' (x) .

\Leftrightarrow \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x & = & - 2 \\ x & = & - 1 \\ x & = & 1 \\ x & = & 4 \end{matrix} .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y = f (x); y = f' (x)

là

S = \int_{- 2}^{4} |f (x) - f^{'} (x)| d x

Vì biểu thức

f (x) - f^{'} (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 2

không đổi đấu trên các khoảng

(- 2; - 1)

(- 1; 1)

, nên ta có

S = |\int_{- 2}^{- 1} [f (x) - f' (x)] d x| + |\int_{- 1}^{1} [f (x) - f' (x)] d x| + |\int_{1}^{4} [f (x) - f' (x)] d x| = \frac{107}{5} (d v d t) .

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi