Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ \ \{- 1; 0\}$ thỏa mãn $f (1) = 2 \ln 2 + 1$ , $x (x + 1) f^{'} (x) + (x + 2) f (x) = x (x + 1)$ , $\forall x \in ℝ \ \{- 1; 0\}$ . Biết $f (2) = a + b \ln 3$ , với $a$ , $b$ là hai số hữu tỉ. Tính $T = a^{2} - b$ .

T = \frac{- 3}{16}

T = \frac{21}{16}

T = \frac{3}{2}

T = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

x (x + 1) f^{'} (x) + (x + 2) f (x) = x (x + 1)

\Leftrightarrow f^{'} (x) + \frac{x + 2}{x (x + 1)} f (x) = 1

\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x + 1} f^{'} (x) + \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}

\Leftrightarrow {[\frac{x^{2}}{x + 1} f (x)]}^{'} = \frac{x^{2}}{x + 1}

\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x + 1} f (x) = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x

\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x + 1} f (x) = \frac{x^{2}}{2} - x + \ln |x + 1| + c

\Leftrightarrow f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln |x + 1| + c) .

Ta có

f (1) = 2 \ln 2 + 1

\Leftrightarrow c = 1.

Từ đó

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln |x + 1| + 1)

f (2) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \ln 3.

Nên

\{\begin{matrix} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{3}{4} \end{matrix}

.
Vậy

T = a^{2} - b = - \frac{3}{16} .

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi