Cho hàm số $y = f (x)$ với $f (0) = f (1) = 1.$ Biết rằng: $\int_{0}^{1} e^{x} [f (x) + f' (x)] d x = a e + b,$ $a, b \in ℤ .$ Giá trị biểu thức $a^{2019} + b^{2019}$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

2^{2018} + 1.

2.

0.

2^{2018} - 1.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có:

I = \int_{0}^{1} e^{x} [f (x) + f' (x)] d x = \int_{0}^{1} e^{x} . f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} . f' (x) d x = I_{1} + I_{2}

Xét:

I_{2} = \int_{0}^{1} e^{x} . f' (x) d x

Đặt

\{\begin{cases} u = e^{x} \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = e^{x} d x \\ v = f (x) \end{cases}

khi đó:

I_{2} = \int_{0}^{1} e^{x} . f' (x) d x = {e^{x} . f (x)|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} . f (x) d x = e . f (1) - f (0) - I_{1} = e - 1 - I_{1}

.
Vậy

I = \int_{0}^{1} e^{x} [f (x) + f^{'} (x)] d x = I_{1} + I_{2} = I_{1} + e - 1 - I_{1} = e - 1

.
Suy ra:

\{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow a^{2019} + b^{2019} = 1^{2019} + {(- 1)}^{2019} = 1 - 1 = 0

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi