Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ . Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $(C)$ . Xét tam giác đều $I A B$ có hai đỉnh $A, B$ thuộc $(C)$ , đoạn thẳng $A B$ có độ dài bằng

3

2

2 \sqrt{2}

2 \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải: Lời giải
Chọn C
Ta có

y = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}

.
Đồ thị

(C)

có hai đường tiệm cận là

x = - 1

và

y = 1

. Do đó

I (- 1; 1)

.
Giả sử

A, B

có hoành độ lần lượt là

x_{1}, x_{2}

.
Ta có:

I A^{2} = {(x_{1} + 1)}^{2} + \frac{4}{{(x_{1} + 1)}^{2}}

;

I B^{2} = {(x_{2} + 1)}^{2} + \frac{4}{{(x_{2} + 1)}^{2}}

;

A B^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(\frac{2}{x_{2} + 1} - \frac{2}{x_{1} + 1})}^{2} = {[(x_{2} + 1) - (x_{1} + 1)]}^{2} + \frac{4 {[(x_{2} + 1) - (x_{1} + 1)]}^{2}}{{(x_{2} + 1)}^{2} . {(x_{1} + 1)}^{2}}

Do tam giác

I A B

đều nên ta có:

I A^{2} = I B^{2} \Leftrightarrow {(x_{2} + 1)}^{2} - {(x_{1} + 1)}^{2} = \frac{4 [{(x_{2} + 1)}^{2} - {(x_{1} + 1)}^{2}]}{{(x_{2} + 1)}^{2} {(x_{1} + 1)}^{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(x_{2} + 1)}^{2} - {(x_{1} + 1)}^{2} = 0 \\ {(x_{2} + 1)}^{2} {(x_{1} + 1)}^{2} = 4 \end{array}

{(x_{2} + 1)}^{2} - {(x_{1} + 1)}^{2} = 0 \Rightarrow A B = 0 \Rightarrow

Loại.

{(x_{2} + 1)}^{2} {(x_{1} + 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{2} + 1 = \frac{2}{x_{1} + 1} \\ x_{2} + 1 = - \frac{2}{x_{1} + 1} \end{array}

x_{2} + 1 = \frac{2}{x_{1} + 1}

:
Khi đó

A B^{2} = 2 [(x_{2} + 1) - (x_{1} + 1)] = 2 {[(x_{2} + 1) - \frac{2}{(x_{2} + 1)}]}^{2} = \frac{2}{{(x_{2} + 1)}^{2}} {[{(x_{2} + 1)}^{2} - 2]}^{2}

Lại có

A B^{2} = I B^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{{(x_{2} + 1)}^{2}} {[{(x_{2} + 1)}^{2} - 2]}^{2} = {(x_{2} + 1)}^{2} + \frac{4}{{(x_{2} + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow {(x_{2} + 1)}^{4} - 8 {(x_{2} + 1)}^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(x_{2} + 1)}^{2} = 4 - 2 \sqrt{3} \Rightarrow A B^{2} = \frac{2 {(2 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{4 - 2 \sqrt{3}} = 8 \\ {(x_{2} + 1)}^{2} = 4 + 2 \sqrt{3} \Rightarrow A B^{2} = \frac{2 {(- 2 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{4 + 2 \sqrt{3}} = 8 \end{array}

x_{2} + 1 = - \frac{2}{x_{1} + 1}

:
Khi đó

A B^{2} = 2 [(x_{2} + 1) - (x_{1} + 1)] = 2 {[(x_{2} + 1) + \frac{2}{(x_{2} + 1)}]}^{2} = \frac{2}{{(x_{2} + 1)}^{2}} {[{(x_{2} + 1)}^{2} + 2]}^{2}

Lại có

A B^{2} = I B^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{{(x_{2} + 1)}^{2}} {[{(x_{2} + 1)}^{2} + 2]}^{2} = {(x_{2} + 1)}^{2} + \frac{4}{{(x_{2} + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow {(x_{2} + 1)}^{4} + 8 {(x_{2} + 1)}^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(x_{2} + 1)}^{2} = - 4 - 2 \sqrt{3} < 0 \\ {(x_{2} + 1)}^{2} = - 4 + 2 \sqrt{3} < 0 \end{array} \Rightarrow

Loại
Vậy

A B = 2 \sqrt{2}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi