Cho hàm số $y = \frac{x}{1 - x} (C)$ và điểm $A (- 1; 1)$ . Tìm m để đường thẳng $d : y = m x - m - 1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $A M^{2} + A N^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

m = - 1

m = 0

m = - 2

m = - \frac{2}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
• Nhận thấy:
Điểm

I (1; - 1)

là tâm đối xứng của đồ thị

(C)

, đồng thời

I (1; - 1)

là điểm cố định thuộc đường thẳng

d

\Rightarrow

I

là trung điểm của

M N

.
• Ta có:

\begin{array}{l} P = A M^{2} + A N^{2} = {(\vec{A I} + \vec{I M})}^{2} + {(\vec{A I} + \vec{I N})}^{2} = 2 {\vec{A I}}^{2} + {\vec{I M}}^{2} + {\vec{I N}}^{2} + 2 \vec{A I} ((\vec{I M} + \vec{I N}) \\ = 2 A I^{2} + 2 I M^{2} = 16 + 2 I M^{2} \end{array}

\Rightarrow P

nhỏ nhất

\Leftrightarrow I M^{2}

nhỏ nhất.
Giả sử:

M (x_{0}; \frac{x_{0}}{1 - x_{0}})

với

x_{0} \neq 1

ta có:

I M^{2}

= {(x_{0} - 1)}^{2} + {(\frac{x_{0}}{1 - x_{0}} + 1)}^{2}

= {(x_{0} - 1)}^{2} + \frac{1}{{(1 - x_{0})}^{2}}

\geq 2

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi