Lời giải:\(y'=4{{x}^{3}}-4mx,y'\left( 1 \right)=4-4m,y\left( 1 \right)=1-m.\) Ta có điểm \(A\left( 1;1-m \right).\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( 1;1-m \right)\) là
\(y=y'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+1-m\Rightarrow y=\left( 4-4m \right)\left( x-1 \right)+1-m\Rightarrow y=\left( 4-4m \right)x+3m-3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là \(\left( 4-4m \right)x-y+3m-3=0.\)
.png)
\(MN=2MH=2\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{4-I{{H}^{2}}}\).
Ta có \(MN\) nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất. Ta có \(IH=d\left( I,\Delta \right)=\frac{\left| m \right|}{\sqrt{{{\left( 4-4m \right)}^{2}}+1}}.\)
\(IH\) lớn nhất khi \(I{{H}^{2}}\) lớn nhất hay \(\frac{{{m}^{2}}}{16{{m}^{2}}-32m+17}\) lớn nhất.
Xét hàm \(f\left( m \right)=\frac{{{m}^{2}}}{16{{m}^{2}}-32m+17}\) suy ra \(f'\left( m \right)=\frac{-32{{m}^{2}}+34m}{{{\left( 16{{m}^{2}}-32m+17 \right)}^{2}}}.\)
.png)
Từ bảng ta có \(IH\) lớn nhất khi \(m=\frac{17}{16}.\)
Vậy dây cung \(MN\) nhỏ nhất khi \(m=\frac{17}{16}.\)
