Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m,$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị này có bán kính bằng $1.$ Tổng giá trị của các phần tử thuộc $S$ bằng

1

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

0

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

y = x^{4} - 2 m x^{2} + m,

tập xác định

D = ℝ .

Ta có

y' = 4 x (x^{2} - m), y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m \end{array}

Hàm số đã cho có

3

điểm cực trị khi và chỉ khi

y' = 0

có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu qua

3

nghiệm đó

\Leftrightarrow

m > 0.

Khi đó

y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{m} \\ x = - \sqrt{m} \end{array}

\Rightarrow m > 0

đồ thị hàm số có

3

điểm cực trị giả sử là

A (0; m),

B (\sqrt{m}; m - m^{2}), C (- \sqrt{m}; m - m^{2})

Cách 1:
Nhận xét

B, C

đối xứng với nhau qua

O y

nên nếu

I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C \Rightarrow I \in O y \Rightarrow I (0; b)

.
Theo bài ra ta có

\{\begin{cases} I A^{2} = 1 \\ I B^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(b - m)}^{2} = 1 (1) \\ m + {(b - m + m^{2})}^{2} = 1 (2) \end{cases}

(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = m + 1 \\ b = m - 1 \end{array}

TH 1:

b = m + 1

thay vào

(2)

ta được

m + {(m + 1 - m + m^{2})}^{2} = 1 \Leftrightarrow m^{4} + 2 m^{2} + m = 0

TH 2:

b = m - 1

thay vào

(2)

ta được

m + {(m - 1 - m + m^{2})}^{2} = 1 \Leftrightarrow m^{4} - 2 m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m^{3} - 2 m + 1 = 0 (do m > 0)

\Leftrightarrow (m - 1) (m^{2} + m - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} (l) \end{array}

Vậy tổng các giá trị của

m

thỏa mãn bài toán là

S = 1 + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .

Cách 2:

Ta thấy tam giác

A B C

cân tại

A .

Gọi

R

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

và

M

là trung điểm cạnh

B C \Rightarrow M (0; m - m^{2}) .

Ta có

\frac{A B}{\sin C} = 2 R \Leftrightarrow A B = 2 R . \sin C \Leftrightarrow A B = 2. \frac{A M}{A C}

\Leftrightarrow A B^{2} = 2 A M \Leftrightarrow {(m + m^{4})}^{2} = 4 m^{4} \Leftrightarrow (m^{4} + 2 m^{2} + m) (m^{4} - 2 m^{2} + m) = 0

\Leftrightarrow m^{3} - 2 m + 1 = 0

\Leftrightarrow (m - 1) (m^{2} + m - 1) = 0 \overset{m > 0}{\Leftrightarrow} [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \end{array}

Vậy tổng các giá trị của

m

thỏa mãn bài toán là

S = 1 + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi