Lời giải:Phân tích:
Cách 1: Tính:
. Đặt
.
Ta có:
.
Mà
.
Ta có
(1).
(2).
(3).
Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra
.
.
Do
. Mà
.
. Mà
.
Do đó
.
Vậy
.
Cách 2: Tương tự như trên ta có:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
, với
.
Ta có
.
Suy ra
, mà
nên
Do đó
.
Vậy
.
Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho hàm số
và
liên tục trên đoạn
.
Khi đó, ta có
.
Chứng minh:
Trước hết ta có tính chất:
Nếu hàm số
liên tục và không âm trên đoạn
thì
Xét tam thức bậc hai
, với mọi
Lấy tích phân hai vế trên đoạn
ta được
, với mọi
Coi
là tam thức bậc hai theo biến
nên ta có
(đpcm).
Vậy đáp án đúng là A.
