Cho hàm số có đồ thị . Hỏi trên trục có bao nhiêu điểm mà qua có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến?
0.
3.
1.
2.
Phân tích: Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên . Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên , ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại . Thật vậy, ta có Nên hàm số có đạo hàm tại và . Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua . Do đó từ điểm trên trục nếu kẻ được một tiếp tuyến đến thì ảnh của qua phép đối xứng trục cũng là một tiếp tuyến của . Vậy để qua điểm trên trục có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị , tức là phần đồ thị của hàm số , với . Gọi thuộc và là tiếp tuyến qua có hệ số góc . Ta có: . Điều kiện tiếp xúc là: Suy ra: Yêu cầu đề bài tương đương phương trình có đúng một nghiệm và một nghiệm . Phương trình có nghiệm nên . Thử lại, với thì trở thành: (đúng). Vậy .
Vậy đáp án đúng là C.