Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} - y^{3} = x - y \\ x + y = m \end{cases}$
Khẳng định sai trong các khẳng định sau:
(a) Với mọi giá trị của m, ta luôn có một nghiệm của hệ đã cho là $(\frac{m}{2}; \frac{m}{2})$
(b) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ $\{\begin{cases} x^{2} + xy + y^{2} = 1 \\ x + y = m \end{cases}$
có nghiệm duy nhất.
(c) Hệ đã cho có nhiều hơn một nghiệm nếu |m| > $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Khẳng định (a).

Khẳng định (b).

Khẳng định (c).

Cả 3 khẳng định (a), (b), (c) đều sai.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:

Hệ đã cho có thể viết dưới dạng:
$\{\begin{array}{l} (x - y) (x^{2} + xy + y^{2}) = x - y \\ x + y = m \end{array} (1)$
- Thử thấy $(\frac{m}{2}; \frac{m}{2})$ là một nghiệm của (1). Vậy (a) đúng.
- Hệ (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x = y và phương trình x² + xy + y² = 1 có duy nhất nghiệm x = y. Vậy hệ:
$\{\begin{array}{l} x^{2} + xy + y^{2} = 1 \\ x + y = m \end{array} (2)$
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ (1) có nghiệm duy nhất. Do đó (b) đúng.
- Hệ (1) luôn có nghiệm, do đó nó có nhiều hơn một nghiệm khi và chỉ khi nó không có nghiệm duy nhất, hay hệ (2) không có nghiệm duy nhất.
Thế x = m - y vào phương trình đầu của hệ (2):
y² - my + m² - 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có biệt thức Δ = 4 - 3m². Nếu |m| > $\frac{2}{\sqrt{3}}$ thì Δ < 0 phương trình (*) vô nghiệm và do đó hệ (1) có duy nhất nghiệm (x; y) = $(\frac{m}{2}; \frac{m}{2})$ . Mâu thuẫn. Vậy (c) sai.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.