Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh $2 a$ . Biết rằng $\hat{A S B} = \hat{A S D} = 90 °$ , mặt phẳng chứa và vuông góc với $(A B C D)$ cắt $S D$ tại $N$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $D A B N$ .

\frac{2}{3} a^{3}

\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3}

\frac{4}{3} a^{3}

\frac{4 \sqrt{3}}{3} a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

\{\begin{cases} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S D \end{cases} \Rightarrow S A ⊥ (S B D) \Rightarrow S A ⊥ S O

\{\begin{cases} B D ⊥ S A \\ B D ⊥ A O \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A O) \Rightarrow (S B D) ⊥ (S A O)

Gọi

H, K

lần lượt là hình chiếu của

N, S

trên

A B

và

H D

(A B C D) \cap (S A B) = A B, (A B C D) ⊥ (S A B) = A B, H K ⊥ A B

suy ra:

N H ⊥ (A B C D)

\Rightarrow (H N D) ⊥ (A B C D)

(A B C D) \cap (N H D) = H D, (A B C D) ⊥ (N H D), S K ⊥ H D

suy ra:

S K ⊥ (A B C D)

Ta có:

\hat{A S O} = 90 °

, suy ra

S

thuộc đường tròn đường kính

A O

.
Đặt

S A = x

(0 < x < A O = a \sqrt{2})

S O = \sqrt{A O^{2} - A S^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - x^{2}}

S_{Δ A S O} = \frac{1}{2} S A . S O = \frac{1}{2} x \sqrt{2 a^{2} - x^{2}}

V_{D . S A O} = \frac{1}{3} S_{Δ S A O} . D O = \frac{x a \sqrt{4 a^{2} - 2 x^{2}}}{6}

+)
+)

\frac{D K}{D H} = \frac{C K}{C A} = \frac{A C - A K}{A C} = 1 - \frac{A K}{A C} = \frac{4 a^{2} - x^{2}}{4 a^{2}}

\frac{V_{D . S A O}}{V_{D . N A B}} = \frac{D A}{D A} . \frac{D S}{D N} . \frac{D K}{D B} = \frac{D K}{D H} . \frac{D O}{D B} = \frac{4 a^{2} - x^{2}}{8 a^{2}} \Rightarrow V_{D . N A B} = \frac{8 a^{2}}{4 a^{2} - x^{2}} . V_{D . S A O} = \frac{8 a^{2}}{4 a^{2} - x^{2}} . \frac{x a \sqrt{4 a^{2} - 2 x^{2}}}{6}

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

x^{2} = 4 a^{2} - 2 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{4 a^{2}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi