Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác $A B C$ đều cạnh $a$ , tam giác $S A B$ vuông tại $B$ , tam giác $S A C$ vuông tại $C .$ Biết góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(A B C)$ bằng $60^{0}$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ theo $a .$

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{8}

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

M,

N

và

P

lần lượt là trung điểm của

A B,

B C

và

S A

G

là trong tâm tam giác

A B C .

Khi đó ta có

Δ S A B = Δ S A C

theo giả thuyết, từ đó suy ra

S B = S C \Rightarrow B C ⊥ (S N A) \Rightarrow (S N A) ⊥ (A B C) . (1)

S B ⊥ B A \Rightarrow M P ⊥ A B

do đó

A B ⊥ (C M P)

hay

(C M P) ⊥ (A B C) . (2)

Từ

(1)

và

(2)

ta có giao tuyến của hai mặt phẳng

(C M P)

và

(S N A)

là

P G

sẽ vuông góc với mặt phẳng

(A B C) .

Mặt khác

C M ⊥ A B, P M ⊥ A B

nên góc giữa hai mặt phẳng

(S A B)

và

(A B C)

bằng

\hat{G M P} = 60^{0} .

Ta có

G P = G M . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \sqrt{3} = \frac{a}{2} .

Suy ra độ dài đường cao của hình chóp

S . A B C

là

h = d (S, (A B C)) = 2 d (P, (A B C)) = 2. P G = a .

Vậy thể tích khối chóp

S . A B C

là

V = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi