Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với $(A B C)$ , $A B = a, A C = a \sqrt{2}, \hat{B A C} = 45^{0}$ . Gọi $B_{1}, C_{1}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $S B, S C$ . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A . B C C_{1} B_{1}$ bằng

\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}

\frac{π a^{3}}{\sqrt{2}}

π a^{3} \sqrt{2}

\frac{4}{3} π a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

I

là trung điểm của

A C \Rightarrow I A = I C = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.
Có

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos \hat{B A C} = a^{2} \Rightarrow B C^{2} + A B^{2} = A C^{2}

.
Suy ra

Δ A B C

vuông tại

B \Rightarrow C B ⊥ (S A B) \Rightarrow A B_{1} ⊥ (S B C) \Rightarrow A B_{1} ⊥ C B_{1}

.
Các tam giác

A B C, A B_{1} C, A C_{1} C

là các tam giác vuông có chung cạnh huyền

A C

.
Do đó

I

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A . B C C_{1} B_{1}

và có bán kính

R = I A = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.
Thể tích khối cầu đó là

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi