Cho hình chóp S. ABC có $S A = 6, S B = 2, S C = 4, A B = 2 \sqrt{10}, \hat{S B C} = 90^{o}, \hat{A S C} = 120^{o}$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với $(S A C)$ cắt SA tại M. Tính tỉ số thể tích $k = \frac{V_{S . B M N}}{V_{S . A B C}}$ .

k = \frac{2}{5}

k = \frac{1}{4}

k = \frac{1}{6}

k = \frac{2}{9}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

o,
Ta có:
•

S A^{2} + S B^{2} = 6^{2} + 2^{2} = 40 = A B^{2} \Rightarrow \hat{A S B} = 90^{o}

.
•

Δ S B C

vuông tại B

\Rightarrow B N = \frac{1}{2} S C = 2

\Rightarrow S N = N B = S B = 2 \Rightarrow Δ S N B

đều.
Gọi D là điểm thuộc cạnh SA sao cho

S D = 2

, ta có:

D B^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8

D N^{2} = 2^{2} + 2^{2} - 2. 2. 2. cos 120^{o} = 12

N B^{2} = 4

\Rightarrow D B^{2} + N B^{2} = D N^{2} \Rightarrow Δ D N B

vuông tại

B

.
• Gọi H, E lần lượt là trung điểm của DN, NB, ta có:
+)

\{\begin{cases} N B ⊥ S E \\ N B ⊥ H E \end{cases} \Rightarrow N B ⊥ (S H E) \Rightarrow N B ⊥ S H

.
+)

\{\begin{cases} S H ⊥ D N \\ S H ⊥ N B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (D N B) \Rightarrow (S D N) ⊥ (D N B) \Rightarrow D \equiv M \Rightarrow S M = 2

\Rightarrow k = \frac{V_{S . B M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S C} = \frac{2}{6} . \frac{2}{4} = \frac{1}{6}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi