Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = S B = S C = A B = A C = a$ và $B C = 2 x$ . Tính thể tích lớn nhất $V_{m a x}$ của hình chóp $S . A B C$

\frac{a^{3}}{8}

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

\frac{a^{3}}{6}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

O

là hình chiếu vuông góc của

S

lên mặt phẳng

(A B C)

.
Vì

S A = S B = S C

nên

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
Tam giác

A B C

cân tại

A

. Gọi

A^{'}

là trung điểm của

B C

. Khi đó

A A^{'}

là đường trung trực của tam giác

A B C

nên điểm

O

nằm trên đường thẳng

A A^{'}

.
Ta có:

A A^{'} = \sqrt{A B^{2} - B {A^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} - x^{2}}

nên

S_{A B C} = \frac{1}{2} B C . A A^{'} = \frac{1}{2} 2 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} = x \sqrt{a^{2} - x^{2}}

.
Lại có:

S_{A B C} = \frac{A B . A C . B C}{4 R}

\Rightarrow O A = R = \frac{A B . A C . B C}{4 S_{A B C}} = \frac{a^{2} . 2 x}{4 x . \sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{a^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - x^{2}}}

.
Trong tam giác vuông

S A O

, ta có:

S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{4}}{4 (a^{2} - x^{2})}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{3 a^{2} - 4 x^{2}}{(a^{2} - x^{2})}}

.
Thể tích

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C} = \frac{1}{3} \frac{a}{2} \sqrt{\frac{3 a^{2} - 4 x^{2}}{a^{2} - x^{2}}} . x \sqrt{a^{2} - x^{2}} = \frac{a}{12} . 2 x \sqrt{3 a^{2} - 4 x^{2}}

.
Mặt khác:

2 x \sqrt{3 a^{2} - 4 x^{2}} \leq \frac{4 x^{2} + 3 a^{2} - 4 x^{2}}{2} = \frac{3 a^{2}}{2}

.
Do đó:

V_{S . A B C} \leq \frac{a}{12} . \frac{3}{2} a^{2} = \frac{a^{3}}{8}

. Vậy

V_{m a x} = \frac{a^{3}}{8}

khi

2 x = \sqrt{3 a^{2} - 4 x^{2}} \Leftrightarrow x = a \sqrt{\frac{3}{8}}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi