Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = x$ , các cạnh còn lại của hình chóp bằng $a$ . Để thể tích khối chóp lớn nhất thì giá trị của $x$ bằng

\frac{a \sqrt{3}}{2}

\frac{a \sqrt{6}}{2}

a

\frac{a}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

K

là trung điểm của cạnh

B C

. Kẻ

S H ⊥ A K

.
Ta có:

B C ⊥ S K

B C ⊥ A K

Vậy:

B C ⊥ (S A K) \Rightarrow B C ⊥ S H

.
Từ và , suy ra Kẻ .
Ta có:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . S H . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

\Rightarrow V_{S . A B C}

đạt giá trị lớn khi

S H

đạt giá trị lớn nhất
Mà:

A K = S K = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, suy ra tam giác

S A K

cân tại

K

.
Gọi

M

là trung điểm cạnh

S A \Rightarrow M K ⊥ S A

.
Ta có:

S H = \frac{M K . S A}{A K} = \frac{\sqrt{3}}{3 a} . \sqrt{x^{2} (3 a^{2} - x^{2})}, M K = \frac{1}{2} \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, cho hai số dương

x^{2}, 3 a^{2} - x^{2}

.
Ta có:

x^{2} + (3 a^{2} - x^{2}) \geq 2 \sqrt{x^{2} (3 a^{2} - x^{2})} \Rightarrow \sqrt{x^{2} (3 a^{2} - x^{2})} \leq \frac{3 a^{2}}{2}

.
Vậy,

S H

đạt giá trị lớn nhất là tại

x = \frac{a \sqrt{6}}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi