Lời giải:.png)
Gọi H là trung điểm của ID \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Qua I dựng đường thẳng d song song với SH, đường thẳng này chính là
trục của hình chóp S.ABCD.
Dựng đường thẳng trung trực của cạnh SB, cắt đường thẳng d tại K.
Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có: \(\angle \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,BH} \right) = \angle SBH = {45^0}\)
\(BD = 5a \Rightarrow BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{15a}}{4} = SH \Rightarrow SB = BH\sqrt 2 = \frac{{15a\sqrt 2 }}{4}\)
Gọi \(E = d \cap SB\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{IE}}{{AH}} = \frac{{IB}}{{BH}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow IE = \frac{2}{3}SH = \frac{{5a}}{2}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{EB}}{{SB}} = \frac{{IB}}{{HB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EB = \frac{2}{3}SB = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2};AM = MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{15a\sqrt 2 }}{8}\\
\Rightarrow EM = EB - MB = \frac{{5a\sqrt 2 }}{8}
\end{array}\)
\(\angle SBH = {45^0} \Rightarrow \angle MEK = {45^0} \Rightarrow \Delta EMK\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MK = ME = \frac{{5a\sqrt 2 }}{8}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MBK ta có:
\(KB = \sqrt {K{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {\frac{{25{a^2}}}{{32}} + \frac{{225{a^2}}}{{32}}} = \frac{{5\sqrt 5 a}}{4} = R\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{125\pi }}{4}{a^2}\)
