Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành tâm $O$ . Một mặt phẳng không qua $S$ cắt các cạnh $S A, S B , S C, S D$ lần lượt tại $M, N, P, Q$ thỏa mãn $\vec{S A} = 2 \vec{S M}, \vec{S C} = 3 \vec{S P}$ . Tính tỉ số $\frac{S B}{S N}$ khi biểu thức $T = {(\frac{S B}{S N})}^{2} + 4 {(\frac{S D}{S Q})}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

\frac{S B}{S N} = \frac{11}{2}

\frac{S B}{S N} = 5

\frac{S B}{S N} = 4

\frac{S B}{S N} = \frac{9}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Đặt

\frac{S N}{S B} = x, \frac{S Q}{S D} = y

với

x, y > 0

. Do đó

T = \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{y^{2}}

.
Ta có

\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} = \frac{x}{6} \Rightarrow V_{S . M N P} = \frac{x}{6} V_{S . A B C} = \frac{x}{12} V_{S . A B C D}

\frac{V_{S . M Q P}}{V_{S . A D C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S Q}{S D} . \frac{S P}{S C} = \frac{y}{6} \Rightarrow V_{S . M Q P} = \frac{y}{6} V_{S . A B C} = \frac{y}{12} V_{S . A B C D}

\Rightarrow V_{S . M N P Q} = V_{S . M N P} + V_{S . M Q P} = (\frac{x + y}{12}) V_{S . A B C D}

\frac{V_{S . M N Q}}{V_{S . A B D}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} = \frac{x y}{2} \Rightarrow V_{S . M N P} = \frac{x y}{2} V_{S . A B C} = \frac{x y}{4} V_{S . A B C D}

\frac{V_{S . P N Q}}{V_{S . C B D}} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} = \frac{x y}{3} \Rightarrow V_{S . M N P} = \frac{x y}{3} V_{S . A B C} = \frac{x y}{6} V_{S . A B C D}

\Rightarrow V_{S . M N P Q} = V_{S . M N Q} + V_{S . P N Q} = \frac{5 x y}{12} V_{S . A B C D}

.
Từ , suy ra

x + y = 5 x y \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{y} = 5 - \frac{1}{x}

.
Đặt

t = \frac{1}{x} (t > 0)

. Suy ra

T = t^{2} + 4 {(5 - t)}^{2} = 5 t^{2} - 40 t + 100 = 5 {(t - 4)}^{2} + 20 \geq 20

.
Do đó

\min_{(0; + \infty)} T = 20 \Leftrightarrow t = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{S B}{S N} = 4

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi