Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a .$ Tam giác $S A B$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C D$ bằng

\frac{π a^{3}}{3} .

\frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3} .

\frac{π a^{3}}{6} .

\frac{11 \sqrt{11} π a^{3}}{162} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải. Gọi

O = A C \cap B D .

Suy ra

O A = O B = O C = O D .

(1)

Gọi

M

là trung điểm

A B,

do tam giác

S A B

vuông tại

S

nên

M S = M A = M B .

Gọi

H

là hình chiếu của

S

trên

A B .

Từ giả thiết suy ra

S H ⊥ (A B C D) .

Ta có

\{\begin{cases} O M ⊥ A B \\ O M ⊥ S H \end{cases} ​ \Rightarrow O M ⊥ (S A B)

nên

O M

là trục của tam giác

S A B

, suy ra

O A = O B = O S .

(2)

Từ

(1)

và

(2),

ta có

O S = O A = O B = O C = O D .

Vậy

O

là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S . A B C D,

bán kính

R = O A = \frac{a \sqrt{2}}{2}

nên

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3} .

Chọn B

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi