Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$ , $(S A D)$ và $(S A B)$ cùng vuông góc với mặt đáy $(A B C D)$ ; $A B = 2 a$ , $A D = C D = a$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $C D$ và trọng tâm $G$ của tam giác $S A B$ , cắt cạnh $S A$ tại điểm $M$ . Tính khoảng cách giữa $2$ đường thẳng $A B$ và $C M$ , biết rằng thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$ .

\frac{a \sqrt{10}}{5}

\frac{a \sqrt{2}}{5}

\frac{a \sqrt{7}}{7}

\frac{a \sqrt{10}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

(S A D)

và

(S A B)

cùng vuông góc với mặt đáy

(A B C D)

nên

S A ⊥ (A B C D)

.
Ta có

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}

;

S_{A B C D} = \frac{1}{2} (a + 2 a) . a = \frac{3 a^{2}}{2}

Suy ra

S A = \frac{3 V_{S . A B C D}}{S_{A B C D}} = \frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{2} . \frac{2}{3 a^{2}} = a \sqrt{6}

.
Gọi

E

là trung điểm của

A B

, ta có

G

thuộc đoạn

S E

và

S G = 2 G E

.
Ta có

\{\begin{cases} G \in (P) \cap (S A B) \\ C D \subset (P); A B \subset (S A B) \\ C D // A B \end{cases}

\Rightarrow G M = (P) \cap (S A B)

và

G M // A B

.
Ta có

A B // (M C D)

nên

d (A B; C M) = d (A B; (C M D)) = d (A; (C M D))

.
Trong

(S A D)

kẻ

A H ⊥ M D

. Khi đó

\begin{array}{l} A H ⊥ M D \\ A H ⊥ C D (C D ⊥ (S A D)) \end{array}\} \Rightarrow A H ⊥ (C M D)

\Rightarrow d (A B; C M) = d (A; (C M D)) = A H

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}

;

A D = a

;

A M = \frac{1}{3} A S = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}

\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{{\frac{2 a}{3}}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{2 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{a \sqrt{10}}{5}

.
Vậy

d (A B; C M) = d (A; (C M D)) = A H = \frac{a \sqrt{10}}{5}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi