Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A = S B = S C = A B = B C = C D = D A = 1.$ Gọi $G_{1}$ , $G_{2}$ , $G_{3}$ , $G_{4}$ lần lươt là trọng tâm các tam giác $S A B$ , $S B C$ , $S C D$ , $S D A$ . $A C$ cắt $B D$ tại $O$ . Khi thể tích khối $S . A B C D$ lớn nhất thì thể tích khối chóp $O . G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ bằng

\frac{1}{81}

\frac{1}{27}

\frac{1}{54}

\frac{2}{81}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Theo giả thiết ta có:

\{\begin{cases} A C ⊥ B D \\ A C ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} C D^{2} = O C^{2} + O D^{2} \\ S C^{2} = O C^{2} + S O^{2} \end{cases}

\Rightarrow S O = O D = \frac{1}{2} B D \Rightarrow Δ S B D

vuông tại

S

.
Lại có:

\{\begin{cases} A C ⊥ B D \\ A C ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} C D^{2} = O C^{2} + O D^{2} \\ S C^{2} = O C^{2} + S O^{2} \end{cases}

Dựng

S H ⊥ B D

tại

H \Rightarrow A C ⊥ S H \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .

Đặt

S D = x (x > 0) .

Ta có

B D = \sqrt{S B^{2} + S D^{2}} = \sqrt{1 + x^{2}} \Rightarrow O D = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2} .

\begin{array}{l} \Rightarrow O C = \sqrt{1 - \frac{1 + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3 - x^{2}}}{2} \Rightarrow A C = \sqrt{3 - x^{2}}, (0 < x < \sqrt{3}) \\ \Leftrightarrow S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot B D = \frac{1}{2} \sqrt{1 + x^{2}} \cdot \sqrt{3 - x^{2}} . \end{array}

Tam giác

S B D

vuông tại

S

có đường cao

S H = \frac{S B . S D}{B D} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

Suy ra

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{A B C D} = \frac{1}{6} x \cdot \sqrt{3 - x^{2}} \leq \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{2} + 3 - x^{2}}{2} = \frac{1}{4} .

Dấu “

=

” xảy ra

\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{6}}{2}

hay

\max V_{S . A B C D} = \frac{1}{4} .

Khi

V_{S . A B C D} = \frac{1}{4}

ta có:

S_{G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}} = \frac{2}{9} S_{A B C D}, d (O, (G_{1} G_{2} G_{3})) = \frac{1}{3} d (S, (A B C D)) = \frac{1}{3} S H .

\Rightarrow V_{O . G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}} = \frac{2}{27} V_{S . A B C D} = \frac{2}{27} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{54} .

Vậy khi thể tích khối chóp

S . A B C D

lớn nhất thì

V_{O . G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}} = \frac{1}{54} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi