Cho hình chóp $S . A B C D$ , đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ ; $S A = a \sqrt{3}; S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $S B; S D$ , mặt phẳng $(A M N)$ cắt $S C$ tại $I$ . Tính thể tích của khối đa diện $A B C D M I N$

V = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{18} .

V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{18} .

V = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{6} .

V = \frac{13 \sqrt{3} a^{3}}{36} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

O

là tâm hình vuông

A B C D

S O

cắt

M N

tại

K

\Rightarrow I

là giao điểm của

A K

với

S C

.
Vì

M N

là đường trung bình của tam giác

S B D

nên

K

là trung điểm của

S O .

Gọi

A'

là điểm đối xứng của

A

qua

S

H

là giao điểm của

A K

với

S C

.
Vì

S O ∥ A' C

và

K

là trung điểm của

S O

\Rightarrow H

là trung điểm của

A' C

\Rightarrow I

là trọng tâm của tam giác

A A' C

\Rightarrow S I = \frac{1}{3} S C

.
Ta có

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}, V_{S . A B C} = V_{S . B C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} .

V_{S . A M I N} = V_{S . A M N} + V_{S . M I N} = \frac{1}{1} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} V_{S . A B C} + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{3} V_{S . B C D} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{12}) . \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{1}{6} V_{S . A B C D} .

Do đó

V_{A B C D M I N} = V_{S . A B C D} - V_{S . A M I N} = \frac{5}{6} V_{S . A B C D} = \frac{5 a^{3} \sqrt{3}}{18} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi