Cho hình chóp $S A B C$ có cạnh $S A = x, B C = y, A B = A C = S B = S C = 1$ . Thể tích khối chóp $S A B C$ lớn nhất khi tổng $x + y$ bẳng:

\frac{4}{\sqrt{3}}

4 \sqrt{3}

\frac{2}{\sqrt{3}}

\sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

I, K

lần lượt là trung điểm của

S A, B C

và

H

là hình chiếu của

S

lên

(A B C)

.
Ta có:

B C ⊥ (S A I)

và

H \in A I, Δ S A I

cân tại

I

S I = A I = \frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{2}

I K = \sqrt{A I^{2} - A K^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{2}

S_{S A I} = \frac{1}{2} S H . A I = \frac{1}{2} S A . I K \Rightarrow S H = \frac{S A . I K}{A I} = \frac{x . \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{4 - y^{2}}}

S_{A B C} = \frac{1}{2} B C . A I = \frac{y \sqrt{4 - y^{2}}}{2}

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

0 < x, y < 2

Thể tích của khối chóp

S . A B C

là

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S H = \frac{1}{6} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}

Áp dụng bất đẳng thức

{(x - y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y

Ta được:

V_{S . A B C} \leq \frac{1}{6} x y \sqrt{4 - 2 x y}

Xét hàm số

f (t) = t \sqrt{4 - t}

trên khoảng

(0; 4)

ta có:

f' (t) = \frac{4 - 3 t}{\sqrt{4 - 2 t}}; f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3} \Rightarrow f (\frac{4}{3}) = \frac{8 \sqrt{6}}{9}

\lim_{t \to 0^{+}} f (t) = 0, \lim_{t \to 4^{-}} f (t) = 0

Bảng biến thiên:

Dựa và bảng biến thiên ta có:

f (t) \leq \frac{8 \sqrt{6}}{9}, \forall t \in (0; 4)

Do đó:

V_{S . A B C} \leq \frac{1}{6} x y \sqrt{4 - 2 x y} \leq \frac{4 \sqrt{6}}{27}

V_{S . A B C}

lớn nhất

\Leftrightarrow V_{S . A B C} = \frac{4 \sqrt{6}}{27}

khi và chỉ khi dấu “=” trong và xảy ra

\{\begin{cases} x = y \\ x y = \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow x + y = \frac{4}{\sqrt{3}}

Cách 2
Có

V = \frac{1}{6} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}

= \frac{1}{6} \sqrt{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})}

.
Dùng bất đẳng thức Cauchy cho

3

số dương

x^{2}, y^{2}, (4 - x^{2} - y^{2})

.
Có

3 \sqrt[3]{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})} \leq x^{2} + y^{2} + (4 - x^{2} - y^{2}) = 4

\Rightarrow x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2}) \leq \frac{4^{3}}{3^{3}}

\Rightarrow \sqrt{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})} \leq \frac{2^{3}}{3 \sqrt{3}}

\Rightarrow V \leq \frac{4}{9 \sqrt{3}}

.
Dấu “=” xảy ra khi

x^{2} = y^{2} = 4 - x^{2} - y^{2}

\Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}

.
Vậy

x + y = \frac{4}{\sqrt{3}}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi