Lời giải:.png)
Gọi \(I\) là trung điểm sủa \(BC\) suy ra góc giữa mp \(\left( SBC \right)\) và mp \(\left( ABC \right)\) là \(\widehat{SIA}=30{}^\circ \).
\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI\) suy ra \(d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=a\).
Xét tam giác \(AHI\) vuông tại \(H\) có: \(AI=\frac{AH}{\sin 30{}^\circ }=2a\).
Xét tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) có: \(SA=AI.\tan 30{}^\circ =\frac{2a}{\sqrt{3}}\).
Giả sử tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(x\), mà \(AI\) là đường cao nên: \(2a=x\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{4a}{\sqrt{3}}\).
Diện tích tam giác đều \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}={{\left( \frac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}\).
Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA\)\(=\frac{1}{3}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{\sqrt{3}}\)\(=\frac{8{{a}^{3}}}{9}\).
