Lời giải:.png)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AD.
Ta chứng minh O là tâm mặt câu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\) và D:
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
CD\bot AC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
CD\bot SA(do\,\,\,SA\bot \left( ABC \right)) \\
\end{matrix}\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot A{{C}_{1}} \right.\)
Do \(\left\{ \begin{matrix}
A{{C}_{1}}\bot SC \\
A{{C}_{1}}\bot CD \\
\end{matrix}\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot \right.\left( SCD \right)\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot {{C}_{1}}D\)
\(\Rightarrow {{C}_{1}}\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD
Tương tự, B1 thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD
Hiển nhiên, A, B, D, C thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD
⇒ O là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}},D\)
⇒ O là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\)
Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\).
Xét tam giác ABC: \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos\angle A}=\sqrt{4+9-2.2.3cos{{60}^{0}}}=\sqrt{7}\left( cm \right)\)
\({{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle A=>\frac{2.3\sqrt{7}}{4R}=\frac{1}{2}.2.3.\sin {{60}^{0}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{7}}{2R}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow R=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\left( cm \right)\)
Thể tích khối cầu: \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\frac{7}{3}} \right)}^{3}}=\frac{28\sqrt{7}\pi }{9\sqrt{3}}=\frac{28\sqrt{21}\pi }{27}\left( c{{m}^{3}} \right)\)
