Lời giải:.png)
Ta có: \({{V}_{S.ABD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{2}{3}{{a}^{3}}\)
Vì: \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SN}{SD}.\frac{SM}{SB}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABD}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}\)
\(\Delta SAD\) vuông: \(SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{5}\Rightarrow AN=\frac{1}{2}SD=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(\Delta SAB\) vuông: \(SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2a\sqrt{2}\Rightarrow AM=a\sqrt{2}\)
MN là đường trung bình của tam giác \(SBD\Rightarrow MN=\frac{1}{2}DB=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)
Khi đó: \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4}\Rightarrow d\left( S;\left( AMN \right) \right)=\frac{3{{V}_{S.AMN}}}{{{S}_{\Delta AMN}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\) nên chọn đáp án A.
