Cho hình chóp SABCD có \(SC = x\left( {0 < x < \sqrt 3 } \right)\) các cạnh còn lại đều bằng 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp SABCD bằng:
A.A.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
B.B.
\(\frac{1}{4}\)
C.C.
\(\frac{1}{3}\)
D.D.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:.png)
Ta có: \(\Delta SBD = \Delta ABD(c - c - c) \Rightarrow AO = SO = OC = > \Delta SAC\) vuông tại S. (tam giác có đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AC bằng nửa cạnh AC).
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {1 + {x^2}} \\
\Rightarrow BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}} = \sqrt {1 - \frac{{1 + {x^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\\
\Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {1 + {x^2}} .\sqrt {3 - {x^2}} \\
SH = \frac{{SA.SC}}{{\sqrt {S{A^2} + S{C^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
\Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\frac{1}{2}.\sqrt {1 + {x^2}} .\sqrt {3 - {x^2}} \\
= \frac{1}{6}x\sqrt {3 - {x^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{6} \le \frac{1}{2}\frac{{{x^2} + 3 - {x^2}}}{6} = \frac{1}{4}\\
\Rightarrow Max{V_{SABCD}} = \frac{1}{4}.
\end{array}\)
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
