Lời giải:.png)
Gọi I là trung điểm của AB.
Ta có: \(\Delta SAB$ cân tại S \(\Rightarrow SI\bot AB\) (1)
Mặt khác: \(\left\{ \begin{align}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
\end{align} \right.\) (2)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra: \(SI\bot \left( ABCD \right)\)
\(\Rightarrow SI\) là chiều cao của hình chóp S.ABCD
\(\Rightarrow IC\) là hình chiếu của SC lên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\)
\(\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,IC \right)}=\widehat{SCI}=60{}^\circ \)
Xét \(\Delta IBC\) vuông tại B, ta có: \(IC=\sqrt{I{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Xét \(\Delta SIC\) vuông tại I, ta có: \(SI=IC.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{15}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}\).
