Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ , biết góc tạo bởi $S G$ và mặt phẳng $S B C$ bằng $30^{0}$ . Mặt phẳng chứa $B C$ và vuông góc với $S A$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích $V_{1}$ , $V_{2}$ trong đó $V_{1}$ chứa điểm $S$ . Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

\frac{1}{6}

6

7

\frac{6}{7}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

*) Giả sử

A G ⊥ B C = H \Rightarrow B C ⊥ S H

. Ta có hình chiếu của

S G

lên mặt phẳng

(S B C)

trùng với

S H

. Do đó,

(\hat{S G; (S B C)}) = \hat{G S H} = 30^{0}

.
*) Hạ

B K ⊥ S A \Rightarrow S A ⊥ (B C K)

. Mặt phẳng chứa

B C

và vuông góc với

S A

tại

K

là

(B C K)

chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích

V_{1}

V_{2}

trong đó

V_{1}

chứa điểm

S

.
Suy ra,

V_{1} = V_{S . K B C}

;

V_{2} = V_{A . K B C} = V_{S . A B C} - V_{1}

.
Giả sử

Δ A B C

đều có cạnh bằng

1

. Ta có,

G H = \frac{\sqrt{3}}{6}

;

G B = \frac{\sqrt{3}}{3}

;

Δ S G H

vuông tại

H

có

\hat{G S H} = 30^{0}

nên:

S G = \frac{G H}{\tan 30^{0}} = \frac{1}{2}

;

S H = \frac{\sqrt{3}}{3}

.
Lại có,

Δ S G B

vuông tại

G

suy ra độ dài cạnh bên

S A = S B = \sqrt{S G^{2} + G B^{2}} = {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{3})}}^{2} = \frac{\sqrt{21}}{6}

.
Trong

Δ S A B

ta có

B K = \frac{2 S_{Δ S A B}}{S A}

mà

Δ S A B = Δ S B C \Rightarrow S_{Δ S A B} = S_{Δ S B C} = \frac{1}{2} S H . B C

hay

B K = \frac{2. \frac{S H . B C}{2}}{S A} = \frac{S H . B C}{S A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} . 1}{\frac{\sqrt{21}}{6}} = \frac{2}{\sqrt{7}}

.
Ta có,

A K = \sqrt{A B^{2} - B K^{2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}

và

S K = S A - A K = \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{\sqrt{21}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{42}

.
Ta có,

\frac{V_{S . K B C}}{V_{S . A B C}} = \frac{K S}{A S} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{42}}{\frac{\sqrt{21}}{6}} = \frac{1}{7} \Rightarrow V_{S . K B C} = \frac{1}{7} V_{S . A B C}

và

V_{A . K B C} = \frac{6}{7} V_{S . A B C}

.
Vậy,

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{1}{7} V_{S . A B C}}{\frac{6}{7} V_{S . A B C}} = \frac{1}{6}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi