Câu hỏi

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a$ và diện tích $S_{ABCD} =a^{2} \sqrt{3} $. Tính góc giữa hai véc-tơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BD}$.

A.

$\left(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BD}\right)=30^\circ $
B.

$\left(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BD}\right)=60^\circ $
C.

$\left(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BD}\right)=90^\circ $
D.

$\left(\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BD}\right)=120^\circ $
Đáp án và lời giải
Đáp án:D
Lời giải:Ta có $S_{ABCD}=AB\cdot BC\Leftrightarrow a^2\sqrt{3}=a\cdot BC\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$. Dựng hình bình hành $ADBE$. Ta có $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}\Rightarrow \overrightarrow{EC}^2=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AE}^2$ Suy ra $$\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AE}=\dfrac{\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AE}^2-\overrightarrow{EC}^2}{2}=\dfrac{(2a)^2+(2a)^2-(2a\sqrt{3})^2}{2}=-2a^2.$$ Khi đó $$\cos\, \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=\cos\, \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AE}|}=\dfrac{-2a^2}{2a\cdot 2a}=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=120^\circ.$$

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.