Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích bằng $V$ . Gọi $M$ , $N$ , $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B$ , $A^{'} C^{'}$ , $B B^{'}$ . Tính thể tích khối tứ diện $C M N P$ .

\frac{1}{8} V

\frac{7}{48} V

\frac{5}{48} V

\frac{1}{6} V

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

G = C M \cap B D

I = P N \cap B D

O = A C \cap B D

. Dễ thấy

B P

là đường trung bình của

Δ I N O

và

G

là trọng tâm

Δ A B C

nên

B G = \frac{2}{3} B O = \frac{2}{3} B I .

\frac{V_{N . C M P}}{V_{N . C M I}} = \frac{N P}{N I} = \frac{1}{2}

\Rightarrow V_{C M N P} = \frac{1}{2} V_{N . C M I}

.
Đặt

S = S_{A B C D}

và

h

là chiều cao của khối hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Ta có

\frac{S_{Δ B M C}}{S_{Δ I M C}} = \frac{\frac{1}{2} d (B, M C) . M C}{\frac{1}{2} d (I, M C) . M C} = \frac{B G}{I G} = \frac{2}{5}

\Rightarrow S_{Δ I M C} = \frac{5}{2} S_{Δ B M C} = \frac{5}{2} . \frac{1}{4} S = \frac{5}{8} S

.
Mà

V_{N . I M C} = \frac{1}{3} S_{Δ I M C} . d (N, (A B C D)) = \frac{1}{3} . \frac{5}{8} S . h = \frac{5}{24} V

.
Vậy

V_{C M N P} = \frac{1}{2} V_{N . C M I} = \frac{5}{48} V

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi