Lời giải:.png)
Ta có \(AB=BC=a\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B.\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}\) (đvtt).
Gọi \(E\) là trung điểm \(BB'.\) Khi đó \(B'C//EM\Rightarrow B'C//\left( AME \right).\)
Vậy \(d\left( AM,B'C \right)=d\left( \left( AME \right),B'C \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( A,\left( AME \right) \right).\)
Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( AME \right).\)
Ta nhận thấy tứ diện \(B.AME\) có \(BE,BM,BA\) đôi một vuông góc.
Khi đó \(\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{B{{M}^{2}}}+\frac{1}{B{{E}^{2}}}+\frac{1}{B{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{7}}{7}.\)
