Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A A^{'}$ và $B B^{'}$ . Đường thẳng $C E$ cắt đường thẳng $C^{'} A^{'}$ tại $E^{'}$ , đường thẳng $C F$ cắt đường thẳng $C^{'} B^{'}$ tại $F^{'}$ . Tính thể tích của khối đa diện $E F A^{'} B^{'} F^{'} E^{'}$ .

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Dễ thấy

E^{'} A^{'} = A C = A^{'} C^{'}; F^{'} B^{'} = B C = B^{'} C^{'}

nên

A^{'}, B^{'}

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

E^{'} C^{'}, F^{'} C^{'}

.
Do đó

S_{Δ C^{'} E^{'} F^{'}} = 4 S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}} = 4. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}

.
Thể tích khối chóp

C . C^{'} E^{'} F^{'}

là:

V_{C . C^{'} E^{'} F^{'}} = \frac{1}{3} . a . a^{2} \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là:

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.
Có:

V_{C . A B F E} = \frac{1}{2} V_{C . A B B^{'} A^{'}} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

V_{C E F . C^{'} A^{'} B^{'}} = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{C . A B F E} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

Suy ra:

V_{E F A^{'} B^{'} F^{'} E^{'}} = V_{C . C^{'} E^{'} F^{'}} - V_{C E F . C^{'} A^{'} B^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi