Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ nội tiếp trong một hình trụ $(T)$ . Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối trụ $(T)$ và khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

\frac{4 \sqrt{3} π}{9}

\frac{4 \sqrt{3} π}{3}

\frac{\sqrt{3} π}{9}

\frac{\sqrt{3} π}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi lăng trụ tam giác đều cạnh

a

là

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

.
Gọi

G

là trọng tâm của

Δ

A B C

, vì

Δ

A B C

đều nên trọng tâm

G

cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ

A B C

, đồng thời là tâm đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó hình trụ có bán kính đáy

r = G A

, đường cao của lăng trụ:

h = A A^{'} = a

.
Gọi

M

là trung điểm của

B C

\Rightarrow A G = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow r = \frac{a}{\sqrt{3}}

.
Thể tích của khối trụ là:

V_{1} = π r^{2} h = π {(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} . a = \frac{π a^{3}}{3}

.
Thể tích của khối lăng trụ là:

V_{2} = B . h = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.
Vậy :

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{π a^{3}}{3}}{\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}} = \frac{4 \sqrt{3} π}{9}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi