Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$ , điểm $M$ là trung điểm cạnh $B C$ và $I$ là tâm hình vuông $C D D^{'} C^{'}$ . Mặt phẳng $(A M I)$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm $D$ có thể tích là $V .$ Khi đó giá trị của $V$ là

V = \frac{7}{36} a^{3}

V = \frac{22}{29} a^{3}

V = \frac{7}{29} a^{3}

V = \frac{29}{36} a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải

Trong

(A B C D)

, kẻ

A M

cắt

C D

tại

N

.
Trong

(C D D^{'} C^{'})

, kẻ

N I

cắt

C C^{'}

tại

P

và cắt

D D^{'}

tại

Q .

Khi đó thiết diện cắt bởi mặt phẳng

(A M I)

và khối lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là tứ giác

A M P Q

.
Dễ thấy

\frac{I P}{I Q} = \frac{I C}{I D^{'}} = 1

(do

P C // D^{'} Q

và

I C = I D^{'}

). Suy ra

I P = I Q

.
Trong tam giác

A N D

ta có

M C // A D

và

M C = \frac{1}{2} B C

= \frac{1}{2} A D

(Do

M

là trung điểm của

B C

và

A B C D

là hình vuông).
Suy ra

C M

là đường trung bình của tam giác

A N D

nên

C

là trung điểm của

N D

.
Xét tam giác

C^{'} N D

có hai đường trung tuyến

C C^{'}

và

N I

cắt nhau tại

P

nên

P

là trọng tâm của tam giác

C^{'} N D .

Suy ra

N P = 2. P I

= P Q

và

P C = \frac{1}{3} C C^{'}

= \frac{a}{3}

.
Ta có:

\frac{V_{N M P C}}{V_{N A Q D}} = \frac{N M}{N A} . \frac{N P}{N Q} . \frac{N C}{N D}

= \frac{1}{8}

\Rightarrow V_{N M P C} = \frac{1}{8} . V_{N A Q D}

Mà

V_{M P C . A Q D} + V_{N M P C} = V_{N A Q D}

Suy ra

V_{M P C . A Q D} = \frac{7}{8} . V_{N A Q D}

(1)

Mặt khác, do

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình lập phương cạnh

a

nên

N D ⊥ (A Q D)

Xét trong tam giác

N Q D

có

P C // Q D

và

C

là trung điểm của

N D

nên ta được:

Q D = 2. P C = \frac{2 a}{3}

.
Từ đó suy ra

V_{N A Q D} = \frac{1}{3} . N D . S_{A Q D}

= \frac{1}{3} . N D . \frac{1}{2} . A D . Q D

= \frac{1}{6} . 2 a . a . \frac{2 a}{3}

= \frac{2 a^{3}}{9}

(2)

Từ

(1)

và

(2)

ta được

V_{M P C . A Q D} = \frac{7}{8} . \frac{2 a^{3}}{9}

= \frac{7 a^{3}}{36}

.
Thể tích khối đa diện cần tìm là:

V = V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - V_{M P C . A Q D}

= a^{3} - \frac{7 a^{3}}{36}

= \frac{29 a^{3}}{36} .

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.