Cho hình lập phương cạnh . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho , . Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng . Khi thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng có chu vi nhỏ nhất, hãy tính .

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:

Phân tích: Ta có nên sao cho mà nên , vuông cân tại . Kéo dài cắt tại . Kéo dài cắt tại . Gọi , . Thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng là lục giác . Do hai mặt đối diện của hình lập phương là song song với nhau nên , . Ta có vuông cân tại . Lại có . Do nên là trung điểm của . Chứng minh tương tự được là trung điểm của . Dễ thấy , . Suy ra chu vi của thiết diện là . Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Từ dó ta có . Do vậy, chu vi của thiết diện là (không đổi). Dấu bằng xảy ra . Khi đó, các đỉnh của thiết diện là trung điểm các cạnh của hình lập phương. Kẻ tại . Ta có . . Suy ra: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là . .