Cho hình nón có chiều cao bằng \(2\sqrt{5}\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt{3}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều \(SAB\(.
Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH\bot AB\) và \(OH\bot AB\).
Theo đề bài ta có:
\(h=SO=2\sqrt{5}\)
\({{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.SH=9\sqrt{3}\), mà \(SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\)
\({{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.\frac{AB\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=36\Leftrightarrow AB=6\,\,\,\left( AB>0 \right)\)
\(\Rightarrow SA=SB=AB=6\)
\(\Delta SOA\) vuông tại O ta có: \(S{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}\Rightarrow O{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}=16\)
\(\Rightarrow r=OA=4\,\,\left( OA>0 \right)\)
\(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.4}^{2}}.2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}\,\pi }{3}\)