Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ . Trên đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $O A B$ vuông. Biết diện tích tam giác $S A B$ bằng $R^{2} \sqrt{2}$ . Thể tích hình nón đã cho bằng

V = \frac{π R^{3} \sqrt{14}}{12}

V = \frac{π R^{3} \sqrt{14}}{2}

V = \frac{π R^{3} \sqrt{14}}{6}

V = \frac{π R^{3} \sqrt{14}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có hình vẽ

Cách 1: Trong đường tròn

(O)

, kẻ

O H ⊥ A B

tại

H

thì

H

là trung điểm của

A B

.
Do đó ta có

\{\begin{cases} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ S O (d o S O ⊥ (O A B)) \end{cases}

\Rightarrow A B ⊥ (S O H)

.
Mà

A B = (S A B) \cap (O A B)

và

O H = (S O H) \cap (O A B), S H = (S O H) \cap (S A B)

.
Do đó

(\hat{(S A B), (O A B)}) = (\hat{O H, S H}) = \hat{S H O} = α

.
Mặt khác ta có tam giác

O A B

là hình chiếu vuông góc của tam giác

S A B

lên mặt phẳng đáy.
Nên

\cos α = \frac{S_{Δ O A B}}{S_{Δ S A B}} = \frac{\frac{1}{2} . O A . O B}{S_{Δ S A B}} = \frac{\frac{R^{2}}{2}}{R^{2} \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}

.
Suy ra

S O = \tan α . O H = \frac{R \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1} = \frac{R \sqrt{14}}{2}

.
Vậy thể tích của khối nón là

V = \frac{S O}{3} π R^{2} = \frac{π R^{3} \sqrt{14}}{6}

.
Cách 2: Tam giác

O A B

vuông cân nên ta có

A B = R \sqrt{2}

.
Kẻ

O H ⊥ A B

tại

H

, ta được

O H = \frac{A B}{2} = \frac{R \sqrt{2}}{2}

.
Ngoài ra

\{\begin{cases} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ S O (d o S O ⊥ (O A B)) \end{cases}

\Rightarrow A B ⊥ (S O H)

\Rightarrow A B ⊥ S H

.
Do đó

S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} . S H . A B = R^{2} \sqrt{2} \Rightarrow S H = 2 R

.
Tam giác

S O H

vuông tại

O

nên

S O = \sqrt{S H^{2} - O H^{2}} = \frac{R \sqrt{14}}{2}

.
Vậy thể tích của khối nón là

V = \frac{S O}{3} π R^{2} = \frac{π R^{3} \sqrt{14}}{6}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi