Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho . Gọi M là điểm tùy ý trên AO với . Mặt phẳng qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Cho . Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất.
.
.
.
.
Nhận xét: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Thật vậy
Vì Hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. Gọi I là trung điểm của SC, ta có: cân tại I
Mà cắt hai mặt phẳng (ABO) và (SBO) theo hai giao tuyến: .
cắt hai mặt phẳng (SAO) và (SAB) theo hai giao tuyến: .
Vậy MNPQ là hình bình hành. Biết rằng là hình chữ nhật.
Ta có: Biết tam giác AMQ vuông cân tại M Và
Vậy (với )
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số và Ta có:
Vậy
Dấu “=” xảy ra khi M là trung điểm của AO.
Vậy đáp án đúng là B.