Cho hình vuông $(C_{1})$ có cạnh bằng $a$ . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $(C_{2})$ .

Từ hình vuông $(C_{2})$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ ,. , $C_{n}$ . Gọi $S_{i}$ là diện tích của hình vuông $C_{i} (i \in \{1, 2, 3, . . . . .\})$ . Đặt $T = S_{1} + S_{2} + S_{3} + . . . S_{n} + . . .$ . Biết $T = \frac{32}{3}$ , tính $a$ ?

2

\frac{5}{2}

\sqrt{2}

2 \sqrt{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cạnh của hình vuông

(C_{2})

là:

a_{2} = \sqrt{{(\frac{3}{4} a)}^{2} + {(\frac{1}{4} a)}^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}

. Do đó diện tích

S_{2} = \frac{5}{8} a^{2}

= \frac{5}{8} S_{1}

.
Cạnh của hình vuông

(C_{3})

là:

a_{3} = \sqrt{{(\frac{3}{4} a_{2})}^{2} + {(\frac{1}{4} a_{2})}^{2}} = \frac{a_{2} \sqrt{10}}{4} = a {(\frac{\sqrt{10}}{4})}^{2}

. Do đó diện tích

S_{3} = {(\frac{5}{8})}^{2} a^{2} = \frac{5}{8} S_{2}

. Lý luận tương tự ta có các

S_{1}

S_{2}

S_{3}, . . . S_{n} . . .

. tạo thành một dãy cấp số nhân lùi vô hạn có

u_{1} = S_{1}

và công bội

q = \frac{5}{8}

T = \frac{S_{1}}{1 - q}

= \frac{8 a^{2}}{3}

. Với

T = \frac{32}{3}

ta có

a^{2} = 4 \Leftrightarrow a = 2

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi