Cho khối chóp đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên bằng $2 a$ . Gọi $M$ là trung điểm $S B$ , $N$ là điểm trên đoạn $S C$ sao cho $N S = 2 N C$ . Thể tích của khối chóp $A . B C N M$ bằng

\frac{a^{3} \sqrt{11}}{18}

\frac{a^{3} \sqrt{11}}{24}

\frac{a^{3} \sqrt{11}}{36}

\frac{a^{3} \sqrt{11}}{16}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

O

là trọng tâm của tam giác

A B C

. Khi đó

B O = \frac{2}{3} B I = \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

.
Khối chóp

S . A B C

đều và

O

là trọng tâm tam giác

A B C

lên

S O ⊥ (A B C) \Rightarrow S O ⊥ O B

\Rightarrow Δ S O B

vuông tại

O

\Rightarrow S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{3 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{33}}{3}

\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{33}}{3} . \frac{1}{2} a . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{12}

.
Ta có

\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{3} V_{S . A B C}

V_{A . B C N M} = V_{S . A B C} - V_{S . A M N} = V_{S . A B C} - \frac{1}{3} V_{S . A B C} = \frac{2}{3} V_{S . A B C} = \frac{2}{3} . \frac{a^{3} \sqrt{11}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{18}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi