Cho khối đa diện như hình vẽ bên. Trong đó $A B C . A' B' C'$ là khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 1, $S . A B C$ là khối chóp tam giác đều có cạnh bên $S A = \frac{2}{3}$ . Mặt phẳng $(S A' B')$ chia khối đa diện đã cho thành hai phần. Gọi $V_{1}$ là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$ , $V_{2}$ là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh $A$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

72 V_{1} = 5 V_{2}

3 V_{1} = V_{2}

24 V_{1} = 5 V_{2}

4 V_{1} = 5 V_{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Dựng thiết diện

S M A' B' N

tạo bởi mặt phẳng

(S A' B')

và khối đa diện đã cho như hình vẽ.

S G = \sqrt{S C^{2} - G C^{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{1}{3}

;

G D = G' D' = \frac{1}{3} C D = \frac{\sqrt{3}}{6}

;

G K = \frac{1}{4} G' D' = \frac{\sqrt{3}}{24}

D K = G D - G K = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{8}

;

M N = \frac{3}{4}

.
Gọi

V

là thể tích toàn bộ khối đa diện:

V = V_{A B C . A' B' C'} + V_{S . A' B' C'} = \frac{\sqrt{3}}{4} . 1 + \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \sqrt{3}}{18}

V_{B' . A B N M} = \frac{1}{3} B B' . S_{A B N M} = \frac{1}{3} . 1. \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{4}) . \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{7 \sqrt{3}}{192}

V_{B' . A A' M} = \frac{1}{3} d (B; (A C C' A')) . S_{A A' M} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{1}{2} . 1. \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{48}

V_{S . A B N M} = \frac{1}{3} S G . S_{A B N M} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{4}) . \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{7 \sqrt{3}}{576}

V_{1} = \frac{7 \sqrt{3}}{192} + \frac{\sqrt{3}}{48} + \frac{7 \sqrt{3}}{576} = \frac{5 \sqrt{3}}{72}

V_{2} = V - V_{1} = \frac{5 \sqrt{3}}{18} - \frac{5 \sqrt{3}}{72} = \frac{5 \sqrt{3}}{24}

.
Suy ra

3 V_{1} = V_{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi