Cho khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có chiều cao bằng $2 a$ và đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\hat{A B C} = 60^{0} .$ Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là tâm các mặt $A B B^{'} A^{'}, B C C^{'} B^{'}, C D D^{'} C^{'}, A D D^{'} A^{'} .$ Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, M, N, P, Q$ bằng

\frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4} .

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4} .

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2} .

\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{12} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải

A B C D

là hình thoi cạnh

a

có

\hat{A B C} = 60^{0} \Rightarrow

Δ A B C

là tam giác đều cạnh

a

. Suy ra:

S_{A B C D} = 2 S_{A B C} = 2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .

Thể tích khối hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là

V = h . S_{A B C D} = 2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} a^{3} .

Gọi

A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}

lần lượt là trung điểm của

A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'} .

Ta có:

V_{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{V}{2}

;

\frac{V_{A^{'} . A_{1} M Q}}{V_{A^{'} . A B D}} = \frac{A^{'} A_{1}}{A^{'} A} . \frac{A^{'} M}{A^{'} B} . \frac{A^{'} Q}{A^{'} D} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{A^{'} . A_{1} M Q} = \frac{1}{8} V_{A^{'} . A B D} = \frac{1}{8} . \frac{V}{6} = \frac{V}{48} .

Vậy

V_{M N P Q A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = V_{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - 4 V_{A^{'} . A_{1} M Q} = \frac{V}{2} - 4. \frac{V}{48} = \frac{5 V}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{12} .

\Rightarrow

Chọn đáp án D

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi