Cho khối hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích là $2110$ . Biết $A^{'} M = M A$ , $D N = 3 N D^{'}$ , $C P = 2 C^{'} P$ như hình vẽ. Mặt phẳng $(M N P)$ chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

\frac{5275}{6}

\frac{5275}{12}

\frac{7385}{18}

\frac{8440}{9}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1

Gọi

H

là giao điểm của mặt phẳng

(M N P)

với

B B^{'}

. Khi đó ta có

\frac{D^{'} N}{D D^{'}} + \frac{B^{'} H}{B B^{'}} = \frac{A^{'} M}{A A^{'}} + \frac{C^{'} P}{C C^{'}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

.
Khi đó ta có

\frac{V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} . M N P H}^{}}{V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}^{}} = \frac{1}{4} (\frac{D^{'} N}{D D^{'}} + \frac{B^{'} H}{B B^{'}} + \frac{A^{'} M}{A A^{'}} + \frac{C^{'} P}{C C^{'}}) = \frac{1}{2} . \frac{5}{6} = \frac{5}{12}

.
Vậy thể tích của khối nhỏ là

V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} . M N P H}^{} = \frac{5}{12} . 2110 = \frac{5275}{6}

.
Cách 2

Gọi

H

là giao điểm của mặt phẳng

(M N P)

với

B B^{'}

. Khi đó ta có

\frac{D^{'} N}{D D^{'}} + \frac{B^{'} H}{B B^{'}} = \frac{A^{'} M}{A A^{'}} + \frac{C^{'} P}{C C^{'}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

, suy ra

\frac{B^{'} H}{B B^{'}} = \frac{7}{12}

.
Gọi

E \in C^{'} C, F \in A^{'} A, G \in B^{'} B

sao cho

\vec{D^{'} N} = \vec{C^{'} E} = \vec{A' F} = \vec{B^{'} G}

. Gọi

V_{0}^{}

là thể tích
khối

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} A B C D

. Gọi

V

là thể tích khối

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M H P N

. Gọi

V_{1}^{}

là thể tích
khối

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} F G E N

. Gọi

V_{2}^{}

là thể tích khối chóp

N . F M H G

và Gọi

V_{3}^{}

là thể tích
khối chóp . Ta có

V = V_{1}^{} + V_{2}^{} + V_{3}^{}

.
Do

D^{'} N = \frac{1}{4} D^{'} D

nên suy ra

V_{1}^{} = \frac{1}{4} V_{0}^{}

V_{2}^{} = \frac{1}{3} S_{F G H M}^{} . A D

mà

\frac{S_{F G H M}^{}}{S_{A B A^{'} B^{'}}^{}} = \frac{F M + G H}{A^{'} A + B^{'} B} = \frac{7}{24}

suy ra

V_{2}^{} = \frac{7}{72} V_{0}^{}

V_{3}^{} = \frac{1}{3} S_{G H P E}^{} . A B

mà

\frac{S_{G H P E}^{}}{S_{B C C^{'} B^{'}}^{}} = \frac{E P + G H}{C^{'} C + B^{'} B} = \frac{5}{24}

suy ra

V_{2}^{} = \frac{5}{72} V_{0}^{}

Vậy thể tích khối cần tính là:

V = \frac{5}{12} V_{0}^{} = \frac{5275}{6}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi