Cho khối lăng trụ tam giác $A B C . A' B' C'$ . Gọi $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh bên $A A', C C'$ sao cho $M A = M A'$ và $N C = 4 N C'$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ . Trong bốn khối tứ diện $G A' B' C',$ $B B' M N, A B B' C'$ và $A' B C N$ , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A.Khối

G A' B' C' .

B.Khối

A' B C N .

C.Khối

A B B' C' .

D.Khối

B B' M N .

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Giả sử lăng trụ có thể tích là

V

.
Thể tích khối tứ diện

G A' B' C'

là:

V_{1} = \frac{1}{3} . S_{A' B' C'} . d (G, (A' B' C')) = \frac{1}{3} V .

Thể tích khối tứ diện

A' B C N

là:

V_{2} = \frac{1}{3} . S_{B C N} . d (A', (B C N)) .

Mặt khác:

V_{A' . B C C' B'} = V - V_{A' A B C} = \frac{2}{3} V

S_{B C N} = \frac{1}{2} C N . d (B, C C') = \frac{1}{2} . \frac{4}{5} C C' . d (B, C C') = \frac{4}{5} S_{B C C'} = \frac{2}{5} S_{B C C' B'}

.
Suy ra

V_{2} = \frac{2}{5} V_{A' B C C' B'} = \frac{2}{5} . \frac{2}{3} V = \frac{4}{15} V

.
Thể tích khối tứ diện

A B B' C'

là

V_{3} = \frac{1}{3} . S_{B B' C'} . d (A, (B C C' B')) = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} S_{B C C' B'} . d (A, (B C C' B')) = \frac{1}{2} . V_{A . B C C' B'} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V = \frac{1}{3} V

.
Thể tích của khối tứ diện

B B' M N

là

V_{4} = \frac{1}{3} . S_{B B' N} . d (M, (B C C' B')) .

Mặt khác:

S_{B B' N} = \frac{1}{2} . B B' . d (N, B B') = \frac{1}{2} . B B' . d (C, B B') = S_{B B' C} = \frac{1}{2} S_{B C C' B'}

Từ đó

V_{4} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} S_{B C C' B'} . d (A, (B C C' B')) = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V = \frac{1}{3} V

.
Vậy, thể tích của khối tứ diện

A' B C N

là bé nhất.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi