Cho khối lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'} .$ Các mặt phẳng $(A B C^{'})$ và $(A^{'} B^{'} C)$ chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu $H_{1}, H_{2}$ lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Giá trị của $\frac{V_{(H_{1})}}{V_{(H_{2})}}$ bằng

4

2

5

3

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

E = A C' \cap A' C

và

F = B C' \cap B' C

.
Khi đó:

(A B C^{'})

và

(A^{'} B^{'} C)

chia khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành 4 khối đa diện:

C E F C'

;

F E A' B' C'

;

F E A B C

và

F E A B B' A'

.
Gọi

V

là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

.
Ta có

V_{C . A' B' C'} = V_{C " . A B C} = \frac{1}{3} V

V_{F E A' B' C'} = V_{C . A' B' C'} - V_{C E F C'}

và

V_{F E A B C} = V_{C' . A B C} - V_{C E F C'}

\Rightarrow V_{F E A' B' C'} = V_{F E A B C}

.
Mặt khác:

\frac{V_{C E F C'}}{V_{C . A' B' C'}} = \frac{C E}{C A'} . \frac{C F}{C B'} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{C E F C'} = \frac{1}{4} V_{C . A' B' C'} = \frac{1}{4} . \frac{1}{3} V = \frac{1}{12} V

\Rightarrow V_{F E A' B' C'} = V_{F E A B C} = V_{C . A' B' C'} - V_{C E F C'} = \frac{1}{3} V - \frac{1}{12} V = \frac{1}{4} V

\Rightarrow V_{F E A B B' A'} = V - 2. \frac{1}{4} V - \frac{1}{12} V = \frac{5}{12} V

Do đó:

H_{1}

có thể tích lớn nhất là khối đa diện

F E A B B' A'

;

H_{2}

có thể tích nhỏ nhất là khối đa diện

C E F C'

và

\frac{V_{(H_{1})}}{V_{(H_{2})}} = 5

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi